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《数学基础研究》是后期维特根斯坦有关数学哲学的研究结晶。其主要内容是根据其后期的新的哲学理解对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。维特根斯坦在其打字稿中，记录了其对于数学的思考。《数学基础研究》收录了其打字稿中他对于数学的一些评论，包括完整收录了TS 213第二部分内容、TS 222和MS 164。

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维特根斯坦，20世纪最有影响力的哲学家之一，其研究领域主要在数学哲学、精神哲学和语言哲学等方面。从1939年至1947年，维特根斯坦一直在剑桥大学教书。他的主要著作有《逻辑哲学论》、《哲学研究》、《数学基础研究》等。

韩林合，北京大学哲学系教授，多年来一直从事维特根斯坦哲学的研究，翻译和撰写了多部相关著作，在国内产生了较大的影响。 主要著作有：《〈逻辑哲学论〉研究》、《维特根斯坦〈哲学研究〉解读》。

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16。语词“所有的”的要旨是它不承认例外。——确实，这是我的语言中使用它的要旨；但我们党得是“要旨”的种种用法与我们整个生活中某种特定用法的作用联系在一起。

17。对于推理由什么构成的问题，我们听到例如这样的说法：“如果我已经认识到这个语句为真…那么我就有理出继写下”——在什么意义上是有理由的？在这之前我就没有权利把它与下来吗？——”这些语句使我坚信这个语句为真。”但不用说这并不是间题之所在。——“根据这些定律，心灵展开特定的逻辑推理活动。”这肯定是有趣和重要的；但然后呢，它是真的吗？心灵始终根据这些定律作推论？什么东西构成了推理这种特定的活动？——这就是为什么有必要看看我们如何在语言的实践中展开推理的；在语言游戏中推理属于哪一种程序。

例如，一条规定说：“所有高于一米八的人都要加人…组。”一个职员读出人们的名字和身高，另一个人把他们分到某个组去。——“某某一米九。”“那么某某到…组，”这就是推理

18，那么对于罗素和欧几里得来说，我们把“推理”叫做什么呢？我是否想说：在证明过程中一个命题转变为下一个？但是，转换在哪里？——我说，对于罗素而言，如果根据两个命题在证明中的位置以及附加的符号，一个命题可以从另一个得出，那么它就是从另一个中推导出来——如果我们读此书的话。因为读这本书就是一种必须学习的游戏。

108。“你相信13×13=196，你所信的究竟是什么？”——有人会说，你使你的信念深人到这些数的关系中有多深？有人要说，说到底你不能深入，或者，你不能够相信它。

但你什么时候深入过数的关系？就是在你说你相信…的时候？但你不会坚持这一点——因为很容易看到，这种现象只是产生于我们语法的表面形式（如同人们会这样称呼的）。

109，因为我想说：“我们只能看到13×13=169，尽管我们还不能相信它。人们能够一一或多或少盲目地——接受规则：”如果我这么说，我是在干什么？我在计算及其结果（即特定的图像、特定的范型），以及用结果所做的实验之间，划了一条界线

110。我想说：“当我相信a×b=c——即发生了我相信某些东西这样的事情时，我并不是相信这数学命题，因为它只产生于证明的结尾，是证明的结果；我所相信的倒是：它是如此这般的公式，我以如此这般的方式可以得到它，如此等等。”一这听上去并不使人觉得我并未把相信这个过程深入到命题之中，我只不过是一以不老练的方式一指出算术命题和经验命题之间的根本的差别以及表间上的相似性。

因为在某些情况下我就是要说“我相信×b=c”。我这么说意思是什么？一—我说的是什么？——但有意思的是这个问题：在哪些情况下我说了这个，它们的特征是什么，对比另外一些情况，说的是：“我相信天要下雨。”因为我们所注意的是这种对比。我们所要求的是使用数学命题的图像和以“我相信…”开头的语句，句子中，数学命题是所相信的对象。

196。现在我向一个人说：“请数一下这些词中的音并且给每个词写上这个数！”

197。我想说：“通过清点诸音人们可以得到一个经验命题——但是也可以得到一条规律。”

198。“……这个词具有…个音——在与时间无关的意义上”这种说法是关于“…这个词”这个概念的同一性的规定。因此，便有了与时间的无关性。

199，人们也可以不说“…这个词具有…个音——在与时间无关的意义上”，而是说“…这个词本质上具有…个音”。

138。数目本质上就与一个概念具有某种关系吗？我相信，这最后归结为如下问题：谈论这样的对象的数目是否有意义，它们没有被放在一个概念之下？比如，如下说法有意义吗：“a，b和c是三个对象”？一一人们的确有这样一种感受，它向我们述说：为何谈论概念？数可是只取决于概念的外延，而一旦后者得到了确定，那么概念可以说就可退场了。概念仅仅是用以确定外延的辅助手段，而外延则是独立的并且就其本质来说独立于概念：因为，事情毕竟也不取决于这点：我们是通过哪个概念确定外延的。这是对外延的理解的论证。与此相反，人们可以首先这样说：如果概念真的仅仅是一种用以达到外延的辅助手段，那么概念出现在算术中是不合适的；这时，人们恰恰必须将类与偶然和它联系在一起的概念完全分离开来。但是，在相反的情形中，独立于概念的外延只不过是吐火女怪，于是，最好根本就不要谈论它，而只谈论概念。

一个概念的外延的符号是一个清单。大致说来，人们可以这样说：数目是一个概念的外在的性质且是其外延（落于它之下的对象的清单）的内在性质。数目是概念外延的图式。这也就是说：数目陈述，像弗雷格所说的那样，是有关一个概念（一个谓词）的陈述。

它并非指涉一个概念外延，也即一个或许可以构成一个概念的外延的清单。不过，有关一个概念的数目陈述类似于这样一个命题，它断言一个特定的清单是这个概念的外延。当我说出下面这样的话时，我便使用了这样一个清单：“a，b，c，d落于概念F（x）之下”“a，b，c，d”就是这样的清单。自然，这个命题只是说出了：Fa&Fb&Fc&Fd；不过，当它被借助于这个清单写下时，它表明了它与“（彐x，y，z，u）。Fx&Fy&。Fz&。Fu”之间的亲缘关系。后者可以简写为：“（彐||||x）。Fx。”

算术与图式||||有关。

但是，算术竟然谈论我用铅笔在纸上画出的线条吗？一算术不谈论线条，它用它们进行运算。

书籍介绍

《数学基础研究》是后期维特根斯坦有关数学哲学的研究结晶。其主要内容是根据其后期的新的哲学理解对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。维特根斯坦在其打字稿中，记录了其对于数学的思考。《数学基础研究》收录了其打字稿中他对于数学的一些评论，包括完整收录了TS 213第二部分内容、TS 222和MS 164。