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本书在介绍数学基础的历史之后，系统讲述现代数学主体的基础——ZFC 集论，其中重点详述四种数（自然数、实数、序数和基数）的理论。实数的构造与传统的 Dedekind 分割和 Cantor 基本序列等构造方法不同，采用了算术超滤分数构造法。

本书适合高等学校数学类专业本科生或研究生用作教材或教学参考书，也可供哲学和理工科其他专业的师生或研究人员参考。

前辅文

第一章 历史概述

S1.1 欧几里得几何

1.1.1 《几何原本》的学术背景

1.1.2 几何学——古希腊数学的主体

1.1.3 演绎证明的范本

S1.2 皮亚诺(Peano) 自然数理论

1.2.1 分析数学——数学的新阶段

1.2.2 分析数学的基础危机

1.2.3 分析算术化

1.2.4 分析数学中的无限

1.2 附1 几何学自身的重大变革

1.2 附2 虚数是怎样进入数学的

1.2 附3 皮亚诺算术的适当展开

S1.3 ZFC 集论

1.3.1 康托尔集论与集论诞生时期的风暴

1.3.1 附1 康托尔辩辞录: 数学的自由与制约

1.3.1 附2 戴德金为创建集论所作的贡献

1.3.2 集论悖论与基础危机

1.3.3 数学可否归为逻辑

1.3.4 直觉主义简介

1.3.5 希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理

1.3.6 ZFC 集论脱颖而出

S1.4 本章小结

第二章 逻辑准备

S2.1 命题演算初步

2.1.1 命题连接词

2.1.2 真值表与永真式

2.1.3 真值方程组

$^*$2.1.4 命题连接词的完全组

S2.2 谓词演算简介

2.2.1 谓词演算语言

2.2.2 什么是数学证明

2.2.3 数学形式系统举例——形式算术

第三章 集论基本概念

S3.1 ZF 语言

S3.2 外延公理与内涵公理

S3.3 无序对公理

S3.4 并集公理与幂集公理

S3.5 关系与映射

3.5.1 Descartes 积(Cartesian product) 集

3.5.2 关系

3.5.3 映射(函数)

3.5.3 附 单值化原则

S3.6 无限公理

3.6.1 最小归纳集omega $

3.6.2 归纳定义

3.6.3 鸽笼原理

第四章 什么是实数

S4.1 等价关系与分类

4.1.1 等价关系

4.1.2 等价类

4.1.3 选代表原则与选择公理

S4.2 bf N ^2$ 的一个重要分类

4.2 附 由哪些自然数性质推出了整数性质

S4.3 重要练习一:bf Z times (bf Z -)$ 的一个分类

S4.4 算术超滤与算术模型

4.4.1 bf N $ 上的滤子与超滤

4.4.2 超滤变换

4.4.3 用非主算术超滤构造的算术模型

4.4.4 自然数数列的延伸

4.4.5 小结

S4.5 一种特殊的非Archimedes 序域------ 从$^ast hN$ 到$^*hQ$

S4.6 重要练习二: bf Q _

S4.7 什么是实数

第五章 结构与模型

S5.1 结构的概念与语言

S5.2 同构与同态

S5.3 理论与模型

5.3 附1 完备序域的(同构) 唯一性

5.3 附2 模型原理

5.3 附3 $^*bf N $ 对bf N $ 的保真性

第六章 势

S6.1 等势

S6.2 不同大小的实无限

S6.3 Cantor-Bernstein 定理

S6.4 关于可数集的结论

6.4 附 可数集性质的另一常用表述

S6.5 势的性质与选择公理

S6.6 连续统假设

第七章 良序结构与超限归纳法

S7.1 偏序

S7.2 全序

S7.3 良序

7.3 附 良序指标集

S7.4 超限归纳法

S7.5 关于结构delimiter "426830A omega ,in delimiter "526930B $ 的练习

第八章 序数

S8.1 序数的概念及一般性质

S8.2 后继序数与极限序数

S8.3 替换公理

S8.4 关于序数的超限归纳法

8.4 附 bf On $ 上的递归定义

S8.5 集的号码库——Hartogs 数

S8.6 正则公理

8.6 附 集宇宙的形象

第九章 选择公理

S9.1 选择公理的特殊性

S9.2 良序原理

S9.3 Zorn 引理

S9.4 选择公理的地位及应用例子(滤子扩张原则)

第十章 基数

S10.1 基数概念

S10.2 基数算术

10.2附1 序数与基数的加乘运算的关系

10.2附2 连续统假设(CH) 蕴涵非主算术超滤存在

*S10.3 正则基数与奇异基数

S10.4 基数计算例子:omega $ 上超滤空间有多大

第十一章 结束语

部分练习题与思考题提示或解答

参考文献

名词汇集

符号汇集

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希尔伯特的公理方法在向形式化方向演进。该公理系统中，基本概念没有规定，没有特定的含义，允许对它们作不同解释。希尔伯特曾形象比喻：“我们必须能够不用‘点、线、面’，而说‘桌子、椅子和酒杯’。”基本对象之间的关系是由该系统中的公理规定的。推理过程中，一切与推理无必然联系的内容都被弃之一旁。这样做，使人们在思维过程中，一边可以求助于直观，同时又可以摆脱由直观可能引起的误导，当然，形式化的意义远不止于此（本书后面还要讨论）

作为对直觉主义向古典数学挑战的直接回答，希尔伯特在1922年汉堡的一次会议上提出了他的证明论研究规划，被称作希尔伯特规划。按此规划，先将具体的数学理论与所用到的逻辑同时公理化，并形成形式系统。这种系统是一种形式语言，其中有一张选定的字母表（符号表），并规定了有效的语法规则，按规则能在有限步骤内机械地确定：

（1）任一字母串是否是一个语句（公式）

（2）任一语句是否是一条公理

（3）任一篇该系统的文章（语句串）是否是一篇证明文章

书籍介绍

本书在介绍数学基础的历史之后，系统讲述现代数学主体的基础——ZFC 集论，其中重点详述四种数（自然数、实数、序数和基数）的理论。实数的构造与传统的 Dedekind 分割和 Cantor 基本序列等构造方法不同，采用了算术超滤分数构造法。

本书适合高等学校数学类专业本科生或研究生用作教材或教学参考书，也可供哲学和理工科其他专业的师生或研究人员参考。