数学的发现 对解题的理解研究和讲授 乔治波利亚著 数学与猜想解题研究作者力作 趣味数学 数学思考方法思维路线 新华书店正版 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

《数学的发现--对解题的理解研究和讲授》由乔治·波利亚所著，本书主要讲解思考方法，思维路线，小到眼前怎样解题，大到如何做学问，怎样发现创造数学里的新命题。作者试图通过一些简单典型的例子，找到它们共同的特征，提炼出思考所遵循的路径，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了相当丰富的习题让读者亲自实践。

《数学的发现--对解题的理解研究和讲授》适合大、中学校学生和数学教师，数学科学、思维科学研究人员阅读参考。

译者的话

第一卷序言

第二卷序言

修订版序言

合订版序言

寄言中学教师

对读者的提示

第一部分 模型

第1章 双轨迹的模型

§1.1 几何作图

§1.2 从例子到数学模型

§1.3 例子

§1.4 设想问题已经解出来了

§1.5 相似图形的模型

§1.6 例子

§1.7 辅助图形的模型

第1章的习题与评注

第2章 笛卡儿(Descartes)模型

§2.1 笛卡儿和他的万能方法

§2.2 一个小问题

§2.3 列方程

§2.4 课堂举例

§2.5 几何中的例子

§2.6 一个物理中的例子

§2.7 一个益智游戏

§2.8 两个迷惑人的例子

第2章的习题与评注

第3章 递归

§3.1 一个小小发现的故事

§3.2 帽子里掏出来的兔子

§3.3 不要光看不练

§3.4 递归

§3.5 符咒(abracadabra)

§3.6 帕斯卡(Pascal)三角形

§3.7 数学归纳法

§3.8 继续前进

§3.9 观察，推广，证明，再证明

第3章的习题与评注

第4章 叠加

§4.1 插值法

§4.2 一个特殊情形

§4.3 组合特殊情形以得出一般情形的解

§4.4 数学模型

第4章的习题与评注

第二部分通向一般方法

第5章 问题

§5.1 什么是问题？

§5.2 问题的分类

§5.3 求解的问题

§5.4 求证的问题

§5.5 未知量的元，条件的分款

§5.6 所要求的：程序

第5章的习题与评注

第6章 扩大模型的范围

§6.1 扩大笛卡儿模型的范围

§6.2 扩大双轨迹模型的范围

§6.3 从哪一个分款着手

§6.4 扩大递归模型的范围

§6.5 未知量的逐步征服

第6章的习题与评注

第7章 解题过程的几何图示

§7.1 隐喻

§7.2 问题是什么？

§7.3 这是一个主意

§7.4 发展我们的想法

§7.5 完成它

§7.6 慢镜头

§7.7 预习

§7.8 计划和程序

§7.9 题中之题

§7.10 想法的产生

§7.11 思维的作用

§7.12 思维的守则

第7章的习题与评注

第8章 计划和程序

§8.1 一个制订计划的模型

§8.2 更一般的模型

§8.3 程序

§8.4 在几个计划中选择

§8.5 计划与程序

§8.6 模型与计划

第8章的习题与评注

第9章 题中之题

§9.1 辅助问题：达到目的的手段

§9.2 等价问题：双侧变形

§9.3 等价问题的链

§9.4 较强或较弱的辅助问题：单侧变形

§9.5 间接的辅助问题

§9.6 材料上的帮助，方法论方面的帮助，激起的联想，

导引演习

第9章的习题与评注

第10章 想法的产生

§10.1 一线光明

§10.2 例子

§10.3 辅助想法的特征

§10.4 想法有赖于机会

第10章的习题与评注

第11章 思维的作用

§11.1 我们怎样思考

§11.2 有了一个问题

§11.3 相关性

§11.4 接近度

§11.5 预见

§11.6 探索范围

§11.7 决断

§11.8 动员与组织

§11.9 辨认与回忆

§11.10 充实与重新配置

§11.11 分离与组合

§11.12 一张图表

§11.13 部分启示着整体

第11章的习题与评注

第12章 思维的守则

§12.1 应该怎样思考

§12.2 集中目标

§12.3 估计前景

§12.4 所要求的：途径

§12.5 所要求的：更有希望的局面

§12.6 所要求的：有关的知识

§12.7 所要求的：重新估计形势

§12.8 提问题的艺术

第12章的习题与评注

第13章 发现的规则？

§13.1 形形色色的规则

§13.2 合理性

§13.3 经济，但并不预加

§13.4 坚持，但有变化

§13.5 择优规则

§13.6 问题所固有的材料

§13.7 用得着的知识

§13.8 辅助问题

§13.9 总结

第13章的习题与评注

第14章 关于学、教和学教

§14.1 教不是一种科学

§14.2 教学的目标

§14.3 教是一种艺术

§14.4 学习三原则

§14.5 教学的三原则

§14.6 例子

§14.7 学习教学

§14.8 教师的思和行

第14章的习题与评注

第15章 猜测和科学方法

§15.1 课堂水平的研究问题

§15.2 例子

§15.3 讨论

§15.4 另一个例子

§15.5 归纳论述的图示

§15.6 一个历史上的例

§15.7 科学的方法：猜测和检验

§15.8 “研究题目”若干应有的特征

§15.9 结论

第15章 的习题与评注

习题解答

第一卷附录 给教师及教师的教师的提示

第二卷附录 补充习题与解答

习题

解答

参考文献

后记

George Polya，美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》《数学与猜想》《数学的发现》等，它们被译成多种文字，广为流传。

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一个解法称为是完善的，如果我们从一开头就能预见甚至证明，沿着这个方法做下去，就一定能达到我们的目的。——《莱布尼兹文集》，pp. 161

解一个问题就是意味着从困难中去找出一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易即时达到的目标。

解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋，因此解题可以认为是人的最富有特征性的活动。

解题是一种本领，就像是游泳、滑雪、弹钢琴一样，你只能够靠模仿和实践才能学到它。

假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，这些特征在你以后去求解其他的问题时，能起到指引的作用。一种解题的方法，它若是经过了你自己的努力得到的，或者是从别人那里学来或听来的，只要经过了你自己的体验，那么它对你来讲就可以成为一种楷模，当你在碰见别的类似的问题时，它就是可供你仿照的模型。

我们所讲述的，不仅仅限于解法，而且还讲述了解法的“病历”。所谓“病历”，就是这个解法所借以发现的一些实质性步骤，以及导致这些步骤的动机和想法的一种叙述。对一个特例之所以要进行这样周密的描述，目的就是为了从中提出一般的方法或模型，这种模型，在以后类似的情况下，对于读者求解问题，可以起指引的作用。

任何学问都包括知识和能力这两个方面。假如你真正具有数学工作（无论是初等或是高等水平的）的经验的话，那么你会毫不迟疑地说，在数学里，能力比起单单具有一些知识来，要重要得多。

在数学里，能力指的是什么？就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题。

教师应当发扬学生的才智和推理的能力；他应当发觉并鼓励学生的创造性——但是现在问题就在于他自己所修的课程并没有充分考虑他能否熟练掌握所学的东西，更不用说去提高他的才智、他的推理能力、解题能力和创造精神了。

德国谚语：不要把盖了一半的房子让傻子看见。

首先，学生在没有理解题目之前不应该动手做题，我们可以在一定程度上检查出学生是否真正了解了问题，那就是看他是否能够把题目复述出来，能否指出已知量和未知量，并用自己的语言把条件解释出来。如果他相当好的做到这些，他就可以着手做题了。

所谓打如意算盘，就是去想像一些你现在还没有得到的好东西。臂如一个饿汉，除了一小片干面包以外什么也没有，他在自言自语：“要是有点火腿就好了，如果还有几个鸡蛋，我就可以做火腿煎蛋了。”

“这是哪一类的问题？”这个问题立即就引出下一个问题：“关于这类问题我们能做些什么？”而问一下这些问题，甚至对十分高级的研究工作也是有益的。

因此，把问题分类，把它们区分为各种不同的类型是有用的。一个好的分类法是这样进行的，它的每一类问题都有相应的一类解法。

我们称一个行动或一个信念是合理的，如果它是建立在充分考虑过的理由之上的，而不是仅仅根据一些不清晰的、含糊的来源（诸如习惯、未认真研究的印象、感觉或“灵感”等等）贸然提出来的。经我们仔细检查了证明的每一步而认可的数学定理便是一个典型的合理信念。从某种观点看来，数学论证研究的最主要的价值，就是它使我们更接近作为“理性生物”的人的理想的合理举止。

为了照顾全面而又不浪费时间，解题者不应在一个地方停留太久，也不要很快就返了回去、他应该寻求变化，在每一阶段都能看到新东西一一例如新的点子，或先前考查过的点子的一个新组合，或用一个新的观点去考查已经考虑过的点子和组合。所有这些的目的无非是想用一种新的更有希望的观点来看整个问题。

简言之，变化乃是坚持所必不可少的相对部分。正如上面所说的，你应当探索你坚持考虑着的点子，但也要努力去考查某些还没有被开发过的地方，并从中抓住某些有用的启示。

这句话告诚你，变化的最大敌人，它的最明显的障得，就是墨守成——即没有改变、没有进展、一而再、再而三地重复同件事。

书籍介绍

本书主要讲解思考方法，思维路线，小到眼前怎样解题，大到如何做学问，怎样发现创造数学里的新命题。作者试图通过一些简单典型的例子，找到它们共同的特征，提炼出思考所遵循的路径，引导读者学习如何去思考问题，分析问题，同时也提供了相当丰富的习题让读者亲自实践。

本书适合大、中学校学生和数学教师，数学科学、思维科学研究人员阅读参考。