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目录

前言

第1章 计算机辅助几何设计的历史 1

1.1 引言 1

1.2 早期发展 3

1.3 de Casteljau和Bezier 4

1.4 参数曲线 5

1.5 矩形曲面 7

1.6 B样条曲线与NURBS 8

1.角曲面片 9

1.8 细分曲面 10

1.9 科学应用 11

1.10 形状 11

1.11 影响与应用 13

参考文献13

第2章 Bezier曲线曲面

2.1 Bezier曲线的原始定义

2.2 Bernstein多项式定义和质 21

2.3 Bezier曲线的质 22

2.4 Bezier曲线的de Casteljau算法 24

2.4.1 Bezier曲线的递推定义 24

2.4.2 Bezier曲线的导矢 26

2.4.3 Bezier曲线的分割 28

2.4.4 Bezier曲线的延拓 29

2.4.5 Bezier曲线的计算举例 30

2.5 Bezier曲线的其他表现形式 30

2.5.1 用边矢量表示的Bezier曲线 30

2.5.2 Bezier曲线的幂基表示 32

2.6 Bezier曲线的合成和几何连续、Bezier样条曲线 33

2.6.1 平面Bezier曲线的合成 33

2.6.2 几何连续 35

2.6.3 Bezier样条曲线 35

2.7 Bezier曲线的修改、反推顶点插值 Bezier曲线、升阶公式 36

2.7.1 Bezier曲线的修改 36

2.7.2 反推顶点插值Bezier曲线 36

2.7.3 Bezier曲线升阶公式与降阶公式 37

2.8 矩形域上的 Bezier曲面及其几何质 38

2.8.1 张量积Bezier曲面 38

2.8.2 de Casteljau算法 39

2.8.3 Bezier曲面的质 40

2.8.4 Bezier曲面的偏导矢与法矢 40

2.8.5 Bezier曲面的分割、升阶与降阶 41

参考文献 42

第3章 有理Bezier曲线曲面 44

3.1 有理Bezier曲线定义 44

3.2 有理一次Bezier曲线 44

3.3 二次曲线弧的有理Bezier表示 45

3.3.1 二次曲线的隐式方程表示 45

3.3.2 二次曲线弧的有理Bezier 形式 45

3.3.3 有理二次Bezier曲线的递推定义 46

3.3.4 有理二次Bezier曲线的形状分类 47

3.4 有理三次Bezier曲线 48

3.5 有理n次Bezier曲线 49

3.5.1 有理de Casteljau算法 50

3.5.2 有理n次Bezier曲线的权因子变换与参数变换 51

3.6 有理Bezier曲面 52

参考文献 52

第4章 B样条曲线曲面 54

4.1 B样条基函数 54

4.1.1 B样条基函数的递推定义 54

4.1.2 B样条基函数的递推过程 55

4.1.3 B样条基函数的质 56

4.2 B样条曲线 57

4.2.1 B样条曲线的定义 57

4.2.2 B样条曲线的质 57

4.2.3 B样条曲线的分类 58

4.3 非均匀B样条曲线 59

4.3.1 计算节点矢量 59

4.3.2 B样条曲线求值和求导的de Boor算法 61

4.4 B样条插值曲线的反算 62

4.4.1 三次B样条插值曲线节点矢量的确定 62

4.4.2 反算三次B样条插值曲线的控制顶点 63

4.5 B样条曲线逼近 64

4.6 B样条曲面 67

4.6.1 B样条曲面方程及质 67

4.6.2 B样条曲面的计算 68

4.6.3 B样条曲面逼近 69

参考文献 70

第5章 有理B样条曲线曲面 73

5.1 NURBS曲线的定义和质 73

5.1.1 NURBS曲线的三种等价形式 73

5.1.2 NURBS曲线的求导 75

5.1.3 NURBS曲线三种表示方式的特点 75

5.1.4 NURBS曲线的几何质 76

5.1.5 权因子对NURBS曲线形状的影响 76

5.2 NURBS曲面的定义和质 77

5.2.1 NURBS曲面的三种等价形式 77

5.2.2 NURBS曲面的求导 79

5.2.3 NURBS曲面的质 80

5.2.4曲面权因子的几何意义 81

5.3 圆锥截线和圆 82

5.3.1 圆锥截线 82

5.3.2 圆的构造 85

5.3.3 常用曲面的NURBS 表示 88

5.4 NURBS曲线曲面的形状修改 90

5.5 NURBS曲线曲面的拟合 93

5.5.1 整体插值 93

5.5.2 局部插值 95

参考文献 97

第6章 几何连续 99

6.1 几何连续概念的提出 99

6.2 参数曲线的几何连续101

6.2.1 参数曲线的几何连续的定义 101

6.2.2 两Bezier曲线G2连续的拼接 104

6.3 参数曲面的几何连续 106

6.3.1 参数曲面的几何连续定义 106

6.3.2 两Bezier曲面的G1连接 108

6.4 有理曲线曲面的几何连续 110

6.4.1 有理参数曲线的连续 110

6.4.2 G2连续有理二次样条曲线构造 113

6.4.3 有理曲面的几何连续 114

6.5 形状建构与连接 114

参考文献 115

第角域上的曲面片 117

7.1 三角域上的Bezier曲面及其几何质 117

7.1.1 重心坐标 117

7.1.2 三角域上的Bernstein基 118

7.1.3 三边 Bezier曲面片的方程 119

7.2 de Casteljau算法 1

7.3 三边 Bezier曲面片的升阶 1

7.4 求方向导矢 1

7.5 组合三边Bezier曲面片的几何连续 121

参考文献122

第8章 T样条曲面 124

8.1 PB样条 125

8.2 T样条理论基础 126

8.2.1 节点区间 126

8.2.2 T样条的概念 126

8.3 T样条曲面的基本方法 127

8.3.1 混合函数局部加细 127

8.3.2 插入控制顶点 129

8.3.3 T样条局部细化 130

8.4 隐式T样条曲面及其基底质 133

8.4.1 三维T网格及隐式T样条曲面 133

8.4.2 三维T网格的构造 134

参考文献 135

第9章 隐式曲线曲面 137

9.1 隐式曲线曲面的基本概念 137

9.2 隐式曲线曲面的基本质 139

9.2.1 隐式曲线曲面的几何不变量 139

9.2.2 隐式曲线曲面的几何连续问题 141

9.3 隐式曲线造型 142

9.3.1 隐式曲线插值算法 142

9.3.2 基于径向基网络的隐式曲线 147

9.4 隐式曲面重建 150

9.4.1 隐式曲面重建问题的一般数学描述 150

9.4.2 隐式曲面重建的经典算法 151

参考文献 156

第10章 细分曲线曲面 160

10.1 细分曲线的切割磨光法 161

10.1.1 细分曲线的切割磨光法的算法 161

10.1.2曲线切割磨光法的质 162

10.2 细分曲面的切割磨光法 165

10.2.1 细分曲面的切割磨光法的算法 165

10.2.2 细分曲面的切割磨光法的质 170

10.2.3 任意拓扑网格的切割磨光法 171

10.3 典型细分曲线 172

10.3.1 Chaikin割角模式 173

10.3.2 B样条细分曲线 173

10.3.3 四点插值细分模式 175

10.4 典型细分曲面 177

10.4.1 Catmull-Clark细分模式 177

10.4.2 Doo-Sabin细分模式 181

10.4.3 Loop细分模式 183

10.4.4 Butterfly细分模式 184

10.4.5 3细分模式185

参考文献 185

第11章 Coons曲面 188

11.1 双线混合Coons曲面片 188

11.1.1 双线混合Coons曲面片的生成 188

11.1.2 双线混合Coons曲面片的控制网格 190

11.2 双三次Coons曲面 191

11.2.1 三次 Hermite基 191

11.2.2 双三次Coons曲面片的生成 192

11.2.3 双三次Coons曲面片的拼接 193

11.3 双三次混合Coons曲面 195

11.3.1 双三次混合曲面片的生成 195

11.3.2 双三次混合Coons曲面片的控制网格 195

11.4 Gordon曲面 197

参考文献 198

第12章 等距曲线曲面 0

12.1 平面等距曲线 2

12.2 Pythagorean-hodograph(PH)曲线 5

12.2.1 定义和表示 5

12.2.2 三次PH曲线的构造、特征和质 6

12.2.3 四次和五次PH曲线的构造 7

12.2.4 PH曲线的等距曲线和弧长 8

12.3 具有有理等距曲线的参数曲线(OR曲线) 8

12.3.1 参数曲线的复形式表示 8

12.3.2 参数曲线具有有理等距曲线的充要条件 9

12.4 PH曲线和OR曲线的插值构造算法 211

12.4.1 平面五次PH曲线的G2Hermite插值 211

12.4.2 平面三次 PH曲线偶的C1Hermite插值212

12.4.3 高次抛物-PH曲线的C2Hermite插值 213

12.5 具有有理中心线的管道曲面 214

12.6 二次曲面的等距曲面 215

12.6.1 椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面 215

12.6.2 椭球面的等距曲面 216

12.6.3 单叶双曲面的等距曲面 217

12.6.4 双叶双曲面的等距曲面 217

参考文献 218

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