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　　本书记载着傅立叶级数与傅立叶积分的诞生经过的重要历史文献，在科 学史上公认是一部划时代的经典性著作。

本书共分为八章，*章是导言，主要内容有本著作目的的表述，热传 导原理，三维的均匀热运动等；第二章是热运动方程，主要内容有环中变化 的热运动方程，实心球中变化的热运动方程，实圆柱中变化的热运动方程； 第三章是关于无穷矩形固体中的热传导，主要内容有问题的表述，热理论中 使用三角级数的*个例子，对这些级数的若干注记等；第四章是环中线性 的和变化的热运动，主要内容有问题的通解，分离物体之间的热传导；第五 章内容是实心球中的热传导，第六章是关于实圆柱中的热运动，第七章是关 于实圆柱中的热运动，第八章是实立方体中的热运动，第九章是热扩散。

牟言

《热的解析理论》导读

汉译者前言

汉译本修订版说明

英译版序

绪论

章 导言

　节  本著者目的的表述

　第二节  一般概念的初始定义

　第三节  热传导原理

　第四节  均匀热运动和线性热运动

　第五节  细棱柱中永恒温度的规律

　第六节  闭空间的加热

　第七节  三维的均匀热运动

　第八节  在已知固体的一个已知点的热运动的量度

第二章 热运动方程

　节  环中变化的热运动方程

　第二节  实心球中变化的热运动方程

　第三节  实圆柱中变化的热运动方程

　第四节  无穷长实棱柱中变化的热运动方程

　第五节  实立方体中变化的热运动方程

　第六节  固体内热传导的一般方程

　第七节  与表面有关的一般方程

　第八节  一般方程的应用

　第九节  一般注记

第三章 无穷矩形固体中的热传导

　节  问题的表述

　第二节  热理论中使用三角级数的个例子

　第三节  对这些级数的若干注记

　第四节  通解

　第五节  解的结果的有限表达式

　第六节  任意函数的三角级数展开

　第七节  对实际问题的应用

第四章 环中线性的和变化的热运动

　节  问题的通解

　第二节  分离物体之间的热传导

第五章 实心球中的热传导

　节  通解

　第二节  对这个解的各种注记

第六章 实圆柱中的热运动

第七章 实圆柱中的热运动

第八章 实立方体中的热运动

第九章 热扩散

　节  无穷直线中的自由热运动

　第二节  无穷固体中的自由热运动

　第三节  无穷固体中的温度

　第四节  积分的比较

　　傅立叶（1768－1830），19世纪法国数学家和数学物理学家。

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　　节 本著作目的的表述 1 热的作用服从于一些不变的规律，如果不借助于数学分析就不可能 发现这些规律。我们即将要阐明的这个理论的目的就是要论证这些规律；它 把关于热传导的所有物理研究都归结为其基础已由实验所给出的那些积分运 算问题。由于热的作用永远存在，它充斥于一切物质和空间之中，它影响工 艺过程，并发生在宇宙的一切现象之中；因此，没有任何主题比它与工业和 自然科学的进步具有更广泛的联系了。

　　当热在一个实体的不同部分之间不均匀地分布时，它倾向于达到平衡， 并且慢慢地从较热部分传到次热部分；同时它在表面耗散，并且耗散在介质 或空间中。作用在物体表面的这种自发辐射倾向于不断改变它们不同点的温 度。假定初始温度已知，那么，热传导的问题就在于确定在一给定时刻一物 体在每一点的温度是怎样的。下面的例子将更清楚地弄清这些问题的本质。

　　2 如果我们使一个直径很大的金属环的同一部分受一个热源持续而均 匀的作用，那么，靠近热源的分子将首先被加热，并且经过一定时间之后 ，这个固体的每一点都将获得非常接近于它所能达到的温度。这个极限 温度或温度在不同点上是不同的；它随它们离受热源直接作用的那一点 愈远而愈低。

　　当这些温度变成永恒不变时，热源在每一时刻内提供恰好补偿在这个环 的外表面的所有点上所耗散的热量。

　　如果现在撤掉这个热源，热将继续在这一固体内传导，但是，在介质和 空间中所失掉的热，就再也不会像以前那样由这个热源提供补偿了，因此， 所有温度都将变化，并且不断减少，直到它们变得与周围介质的温度相等为 止。

　　3 当温度永恒不变，并且保留热源时，如果在环的中周的每一点上作 一个垂直于环平面的纵坐标，它的长度与那一点的固定温度成正比，那么， 过这些纵坐标端点的曲线就表示这些温度的永恒状态，并且，很容易用分析 来确定这条曲线的性质。应当注意，由于假定与中周垂直的同一个截面的所 有点的温度明显相等，所以假定环是很细的。当热源撤走时，界定这些与不 同点的温度成正比的纵坐标的曲线，就不断改变它的形式，问题在于用一个 方程表示这条曲线的这种可变形式，因此，就在于用单个公式概括这一固体 的所有连续状态。

　　4 设z是中周上一点m的不变温度，x是这一点到热源的距离，即是包含 在点m和对应于热源位置的点。之间的这段中周弧的长度；z是点m依靠热源 的恒定作用所能达到的温度，这一永恒温度z是距离z的一个函数f（x） 。这个问题的部分在于确定表示这个固体永恒状态的函数f（x）。

　　考虑当热源一移开时继前一个状态的下一个变化状态；用t表示自热源 撤除后所经历的时间，用v表示t时后点m的温度值。量v则是距离z和时间￡ 的某个函数F（x，t）；这个问题的目的是要找到这个函数F（x，t），我们 现在仅仅只知道这个函数的初始值是f（x），因此我们应当有方程f（x）＝ F（x，0）。

　　5 如果我们把一个形如球或立方体的同质实体放进一种保持恒温的介 质中，把它持续浸泡很长时间，那么，它将在它的所有点上都达到与这种流 体相差无几的温度。假定取出这一物体，把它转移到转凉的介质中去，那么 ，热将开始在其表面耗散；这一物体不同点的温度也会明显地不同，如果我 们假定它被平行于它的外表面的面分成无穷多个薄层，那么，在每一时刻， 每一薄层就向包围它的薄层传送一定量的热。如果设想每一分子带有一个单 独的温度计，它表示它在每一时刻的温度，那么，这一固体的状态就时刻由 所有这些温度计所测得的高度的变化系统来表示。有必要用解析公式表示这 些连续变化，以便我们能够在这一给定时刻知道由每一个温度计所标明的温 度，并且比较同一时刻内两个相邻薄层之间所流过的，以及进入周围介质的 热量。

　　6 如果这一物体是球状的，并且我们用x表示这一物体某一点到球心的 距离，用t表示自冷却开始后所经历的时间，用v表示点m的变化温度，那么 容易看出，位于与球心距离相同的点有相同的温度v。这个量v是半径-z和时 间t的某个函数F（x，t）；无疑，当我们假定￡为零时，无论z是什么值，v 都是常数；因为由假定，在取出的一瞬间，所有点的温度都相同。问题在于 确定那个表示v值的x和t的函数。

　　7 接下来应该注意，在冷却期间的每一时刻，一定热量通过外表面而 逃逸，并进入介质。这个量值不是不变的；它在冷却开始时。然而，如 果我们考虑半径为z的内球面的变化状态，那么我们容易看到，在每一时刻 肯定有一定热量穿过那个球面，并且经过这一物体距球心更远的那一部分。

　　热的这一连续流动同它经过外表面的流动一样，是可变的，并且两者是可以 相互比较的量；它们的比是其变化值为距离x和历经时间t的函数的数。有必 要确定这些函数。

　　8 如果长时间在介质中浸泡所加热，并且我们想计算其冷却率的这一 物质，是一个立方体，如果我们取这一立方体的中心为原点，取垂直于各面 的线为轴，用三个直角坐标x，y，z确定每一点的位置，那么我们看到，在 时间￡之后，点m的温度v是4个变量x，y，z和t的一个函数。在每一时刻过 这一固体的整个外表面所流出的热量是变化的，并且可以相互比较；它们的 比是依赖于时间t的一些解析函数，是我们应当确定的表达式。

　　9 让我们也考察这样一种情况：一个充分粗、无限长、其末端受恒温 作用的矩形棱柱，当它周围的空气保持较低温度时，后达到一个需要确定 的固定状态。由假定，在棱柱基底的底截面上的所有点都有相同和永恒的温 度。与热源有距离的截面则不同；这个平行于基底的矩形面的每一点得到一 固定温度，但是，这在这同一个截面的不同点上是不一样的，在离受空气作 用的面更近的点上，温度肯定更低一些。我们还看到，由于这一固体的状态 已经变成恒定的，因此，在每一时刻，有一定的热量流过一个已知截面，它 们总是相等的。问题在于确定在这一固体的任一已知点上的永恒温度和在一 个给定时间内，流过其位置已知的截面的总热量。

　　10 取棱柱基底的中心为坐标x，y，z的原点，取棱柱本身的轴和垂直 于各底边的两条垂线为直角坐标轴：其坐标为x，y，z的点m的永恒温度v， 是三个变量的函数F（x，y，z）：当我们假定无论y和z取什么值x均为0时， 由假设，这个函数有一个常数值。如果由一个面积所界定、由相同物质组成 为这一棱柱的这一受热物体一直保持沸水温度，并且浸没在保持溶冰温度的 大气中，那么，让我们以在一个单位时间内从一个与单位面积相等的面积中 所发出的热量为一个热量单位。

　　我们看到，在这个矩形棱柱的永恒状态中，在一个单位时间内，流过垂 直于轴的某一截面的热量与作为单位的热量有一个确定的比，这个比对所有 截面来说是不同的：它是这一截面所位于的距离x的函数φ（x）。需要找到 函数φ（x）的一个解析表达式。

　　11 上述例子足以对我们所谈过的不同问题给出一个精确思想。

　　这些问题的解使我们认识到，就每一种固体物质来说，热传导的作用都 依赖于三个基本量，它们是物质的热容量（capacity for heat），它的自 热导率*（own conducibility）和外热导率（exterior conducibility）。

　　人们已经观察到，如果同体积不同质的两个物体有相同的温度，并且如 果对它们增加相同的热量，那么，温度的增量是不相同的，这两个增量的比 是它们热容量的比**。如此，规定热作用的三个具体要素中的个，就被 严格地确定了，并且，物理学家们很早就知道几种确定它的值的方法。其他 两个要素就不一样了；虽然它们的作用经常被观察到，但是还没有一个严格 的理论能精确地区别、定义和测量它们。

　　一个物体的固有热导率或内热导率（the proper or interior conducibility）表示使热从一个内部分子传递到另一个内部分子的能力。

　　一个固体的外热导率或相对热导率（theexternal or relative conducibility）取决于热穿过其表面，并从这一物体进入一种已知介质， 或者，从这种介质进入这个固体的能力。这后一种性质或多或少地由表面的 光洁状态所左右；它也随这一物体所浸入其中的介质而变化；但是内热导率 只随这一固体的质而变化。

　　在我们的公式中，这三个基本量由常数来表示，并且这一理论本身指明 适合于测量它们的值的实验。一旦它们被确定，则与热传导有关的一切问题 就都只取决于数值分析。关于这些特殊性质的知识可能在物理科学的几种应 用中都直接有用；此外，这种知识也是不同物质的研究和描述的一个要素。

　　那些忽视它们与自然界主要作用力之一所具有的这些联系的知识，将是非常 不完善的。总的说来，由于这一理论可以给以热的使用为基础的无数工艺实 践带来清晰性和完整性，所以，还没有任何一种数学理论比它与国民经济具 有更紧密的联系。

　　12地球温度问题表明是热理论的漂亮的应用之一；形成它的一般思想 如下。地球表面的不同部分不等地受到太阳光线的作用；其作用强度取决于 那一地点的纬度；它在一天的过程中和在一年的过程中也有变化，并且受到 其他更不易察觉的不均匀性的影响。显然，地表的变化状态与内部温度的变 化状态之间存在着一种必然联系，它可以由理论导出。我们知道，在地表以 下的某一深度，在一已知地点的温度无年变：这一永恒的地下温度随这一地 点离赤道愈来愈远而变得愈来愈低。地球外壳的厚度相对于地球半径无比地 小，因此我们可以不考虑它，而把我们这颗行星看做是一个近球体，它的表 面受到这样一种温度的作用，这种温度在一条给定的纬线的所有点上保持不 变，而在另一条纬线上则不同。由此推出，每一个内分子也有由它的位置所 确定的固定温度。这一数学问题在于找出任一已知点的固定温度，以及日热 在射入地球内部时所遵循的规律。

　　如果我们考虑在我们居住于其表面之上的地壳本身中所相继发生的变化 ，那么，这种温度的差异性就会使我们更加感兴趣。在每一天和在每一年的 期间所反复产生的那些冷暖交替，至今都一直是反复观察的对象。我们现在 可以计算它们，并且可以从一个一般的理论推导出经验所教给我们的所有特 殊事实。这一问题可简化成这样一个假设：一个巨大球体的每一点都受到周 期性温度的作用，那么分析告诉我们，这些变化的强度根据什么规律随深度 的增加而减弱，在一给定深度上，年变化或日变化的总量是多少，这些变化 的时期是怎样的，怎样从地表所观测到的变化温度推出地下温度的固定值。

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编辑推荐

　　《热的解析理论》为数学和物理学的前进开辟了广阔的道路，极大地推动了应用数学的发展，从而也有力地推动了物理学的发展。给读者美的享受。《热的解析理论》是表现数学美的典型，傅立叶级数犹同用数学语言谱写的一首长诗。麦克斯韦曾把《热的解析理论》称为“一首伟大的数学的诗”。恩格斯则把傅立叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法相提并论，他曾写道：傅立叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。

书籍介绍

本书记载着傅立叶级数与傅立叶积分的诞生经过的重要历史文献，在科学史上公认是一部划时代的经典性著作。傅立叶把物理问题表述为线性偏微分方程的边值问题来处理。这一点，连同他在单位和量纲方面的工作，使分析力学超出了牛顿在《自然哲学的数学原理》中所规定的范畴。傅立叶所发明的解方程的强有力的数学工具产生了一系列派生学科，在数学分析中提出了许多研究课题，极大地推动了数学领域中的第一流的工作，并且开拓出一些新的领域。

本书的理论和方法几乎渗透到近代数学和物理的所有部门。事实上，自然科学的各学科都广泛地应用傅立叶的理论，读者极其广泛。影响广泛、深远。本书为数学和 物理学的前进开辟了广阔的道路，极大地推动了应用数学的发展，从而也有力地推动了物理学的发展。

给读者美的享受。本书是表现数学美的典型，傅立叶级数犹同用数学语言谱写的一首长诗。麦克斯韦曾把《热的解析理论》称为“一首伟大的数学的诗”。恩格斯则把傅立叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔的辩证法相提并论，他曾写道： 傅立叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗。