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本书主要讲授如何应用概率论、随机过程以及排队论的理论与方法分析通信网的性能，并将其应用于电信网络、计算机网络、移动通信网络、光通信网络等的资源配置与流量控制中，使读者学会用随机的思想看待通信网、用数学的语言描述并分析通信网，从而加深对实际通信网工作原理的理解。

第 1 章 通信网络与通信网理论概述 1 

1.1 通信网络发展概述  1 

1.2 通信网性能分析与通信网理论 3 

第 2 章 通信网建模理论  6 

2.1 通信网业务分类及其建模准则 6 

2.2 通信业务源的概率模型化 8 

2.2.1 随机事件的概率特征及其描述方法 8 

2.2.2 几种常用的概率分布 13 

2.2.3 几种常用的随机点过程  22 

2.2.4 更新过程 29 

2.2.5 叠加过程的概率描述 34 

2.2.6 马尔可夫更新过程与半马尔可夫过程  36 

2.3 通信网络的排队模型化  39 

2.3.1 排队节点模型及其马尔可夫过程描述  39 

2.3.2 典型通信网络的排队建模 43 

小结  47 

习题  48 

第 3 章 排队论的基本概念与基本定理 49 

3.1 排队论的基本概念 49 

3.1.1 排队模型和 Kendall 记号 49 

3.1.2 排队模型的特征参数 52 

3.1.3 排队模型的性能参数 52 

3.1.4 排队系统的状态 54 

3.2 排队论中的三个基本定理  55 

3.2.1 Little 定理 55 

3.2.2 PASTA 定理  59 

3.2.3 Burke 定理 60

小结  61 

习题  62 

第 4 章 马尔可夫排队系统的性能分析 63 

4.1 M/M/1 排队系统——基本的排队模型  63 

4.2 M/M/1 排队模型的一般化 69 

4.2.1 顾客到达率和服务率可变的 M/M/1 排队系统  69 

4.2.2 多个服务者的 M/M/s 排队系统 70 

4.2.3 有限等待空间 M/M/s(k) 排队系统 81 

4.2.4 马尔可夫排队系统的暂态分析 86 

4.3 多元马尔可夫型排队系统的分析 87 

4.3.1 即时式多元马尔可夫排队系统 88 

4.3.2 即时-待时混合式多元马尔可夫排队系统 90 

小结  97 

习题  97 

第 5 章 马尔可夫排队网络的性能分析  100 

5.1 M/M/s 排队系统的退去过程与 Burke 输出定理  101 

5.2 排队网络的可逆性与准可逆性  105 

5.3 开环排队网络与 Jackson 定理  108 

5.4 闭环排队网络与 Gordon-Newell 定理 116 

5.5 混合排队网络及其扩展 119 

小结 122 

习题 122 

第 6 章 非马尔可夫排队系统的嵌入马尔可夫过程分析法  125 

6.1 嵌入马尔可夫过程分析法 126 

6.2 率守恒定理与负载守恒定理  127 

6.3 M/G/1 排队系统的性能分析 128 

6.3.1 平均队列长度的求解  128 

6.3.2 队列长度状态概率的求解  130 

6.3.3 FCFS 情况下等待时间概率分布的求解 133 

6.3.4 排队系统忙期的求解  136 

6.3.5 M/G/1(k) 排队系统的分析  138 

6.4 GI/M/s 排队系统的解析 140 

6.4.1 GI/M/s 的嵌入马尔可夫过程 141 

6.4.2 到达时刻状态概率的迭代近似解 143 

6.4.3 任意时刻状态概率的求解  146 

6.4.4 性能指标  146 

6.5 M[X]/G/1 群到达排队系统 151 

6.6 M/G/1 优先权排队系统  157 

6.6.1 M/G/1 非中断式优先权排队系统 158 

6.6.2 M/G/1 中断式优先权排队系统 164 

6.7 M/G/1 休假排队模型  167 

6.7.1 单重休假模型  172 

6.7.2 多重休假模型  173 

6.7.3  N 策略休假模型  174 

6.7.4 扩展及休假时间的选择  178 

小结 179 

习题 180 

第 7 章 通信网络的矩阵解析理论 184 

7.1 相位型概率分布  184 

7.1.1 连续 PH 型概率分布  185 

7.1.2 离散 PH 型分布  187 

7.1.3 典型概率分布的 PH 标识  188 

7.1.4 PH 型分布的特征量 190 

7.1.5 PH 型分布的闭合特性 191 

7.2 相位型随机过程  198 

7.2.1 PH 型更新过程 198 

7.2.2 相位型马尔可夫更新过程  201 

7.3 准生灭过程与矩阵几何解 205 

7.4 准生灭过程的嵌入马尔可夫链  213 

7.5 典型排队系统的矩阵几何解 214 

7.5.1 M/PH/1 排队系统  214 

7.5.2 M/PH/1(k) 排队系统 217 

7.5.3 PH/M/s 排队系统  218 

7.5.4 PH/M/s(k) 排队系统 220 

7.5.5 PH/PH/1 排队系统  222 

7.6 矩阵解析法的几个实例 224 

7.6.1 ATM 网络中分组语音或分组视频业务统计复用器的性能解析  224 

7.6.2 部分抢占优先权的即时-待时混合排队系统  226 

7.6.3 基于动态虚电路的实时传输协议性能分析与设计 236 

小结 261 

习题 261 

第 8 章 通信网络的近似解析法 264 

8.1 流体和扩散近似  264 

8.1.1 流体近似  264 

8.1.2 扩散近似  266 

8.2 大偏差理论 272 

8.2.1 大偏差原理  272 

8.2.2 离散时间单队列分析  274 

8.2.3 连续时间单队列分析  280 

8.2.4 等效带宽  282 

8.3 网络演算 285 

8.3.1 “小加”代数  285 

8.3.2 确定性网络演算  287 

8.3.3 随机网络演算  291 

小结 300 

习题 301 

参考文献 302

牛志升：1985年毕业于北方交通大学，1992年获日本Toyohashi University of Technology工学博士学位，1992-1994年就职于日本Fujitsu Laboratories Ltd.，1994年回清华大学电子工程系任教至今，曾任清华大学科技处副处长、电子系副主任、信息学院副院长等职，并获得过国家自然科学基金委员会杰出青年基金、IEEE通信学会亚太区年度论文奖、IEEE通信学会绿色通信与计算专业委员会杰出技术成就奖、中国通信学会科学技术奖一等奖等，并担任国家“973计划”项目“能效与资源优化的超蜂窝移动通信系统基础研究”首席科学家。他同时是IEICE Fellow和IEEE Fellow。

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编辑推荐

（1）学会用数学的语言研究通信网。

（2）学会用随机的思想看待通信网以及用数学的语言描述通信网。

（3）掌握通信网性能分析的理论与方法，并能运用这些方法解决电信网络、计算机网络、移动通信网络、光通信网络等的资源分配、流量控制与优化设计问题。

（4）培养通信基础理论和实际计算机编程与仿真能力。

前言

自一百多年前电报和电话相继问世以来，以语音通信为主的电气通信技术得到了突飞猛进的发展，并形成了一个巨大的产业。尤其是近半个世纪发展起来的互联网和移动通信技术，大大丰富了通信网络的内涵，实现了人们在任何时候（anytime）、任何地点（anywhere）、与任何人（anybody）、以任何方式（any-media）进行通信的梦想，将人类带入了移动多媒体信息的时代。与此同时，通信网络的广泛普及带动了全行业的应用，从简单的信息通信逐步扩展到了智能交通、智能电网、网上购物、智慧物流、智能建筑、智慧医疗、精准农业等领域，可以说今天的通信网络已经是无处不在、无所不能，从根本上改变了人们的生活和整个社会。

面向未来，随着通信网络在高度智能化社会中扮演越来越重要的角色，网络容量与信息传输实时性与可靠性保障将面临新的挑战，尤其是在热点区域、建筑内部以及超高速移动过程中的服务性能保障变得越来越重要。为此，未来的通信网络不仅需要高效地处理语音、数据和图像等多媒体业务，同时要针对不同业务提供不同等级的服务质量与可靠性保障。这对传统的以单一业务为基础的通信网络理论提出了新的挑战，同时也对通信网络的性能分析、资源分配与流量控制等提出了新的要求。与此同时，通信的多样化和大规模化也要求对网络进行周密的预测、有效的控制以及合理的优化，而且随着硬件技术的不断成熟，网络管理和性能优化已经成为决定网络运行商成败的关键因素。

造成网络性能下降甚至网络拥塞的原因有很多，但已有大量事实表明：业务与网络的随机性才是造成网络拥塞的主要原因。由于业务需求（呼叫、分组等）的发生是随机的，所需的服务时间（通话时间、分组传送时间等）也是随机的，而且有时链路的传送能力（如无线链路）和网络的拓扑（如移动自组织网络）也是随机变化的，这就决定了通信网的性能分析需要概率模型以及对概率模型和随机过程进行分析的理论。正是这些随机性，导致排队现象不可避免，因此人们习惯上称这类服务系统为随机服务系统，或简称为排队系统，相应的理论称为随机服务理论或排队论（queueing theory）。

本书主要讲授如何应用概率论、随机过程以及排队论的理论与方法解决通信网中的性能分析、资源分配与流量控制问题。通过本书，读者将学会用随机的思想看待通信网以及用数学的语言描述通信网，掌握通信网性能分析的理论与方法，并能运用这些方法解决电信网络、计算机网络、移动通信网络、光通信网络等的资源分配、流量控制与优化设计问题，从而加深对实际通信网工作原理的理解。

本书的对象定位在信息与通信工程专业的研究生、该领域的工程技术人员或同等水平的人员。要求先修课程包括概率论、数理统计、随机过程以及通信网络等。

本书是牛志升在清华大学电子工程系二十多年来为电子与计算机类研究生讲授同名课程讲义的整理与提高。作为研究生专业基础课，该课程于1999 年正式开设，2001 年入选清华大学研究生示范课程，2002 年入选“清华大学研究生精品课”首批建设项目，2008 年获评“清华大学研究生精品课”，并于2011 年和2016 年再次被评为“清华大学研究生精品课”。该课程的开设以及教材的出版得到了电子工程系各届领导董在望、朱雪龙、龚克、汪惠、林孝康等的大力支持和帮助，对此表示衷心的感谢！同时还要感谢曾经选修过本课程的同学们，特别是曾担任过本课程助教的同学们以及孙宇璇博士、孙径舟、黄秀峰、贾宇宽、毛瑞清同学，他们帮忙修改了讲义中的多处笔误。另外，清华大学出版社的王仁康编辑和王芳编辑为本书的顺利出版倾注了大量的心血，在此一并表示感谢。

本书前7 章由牛志升编写，第8 章由周盛编写。为了方便相关院校基于本教材开设相应的课程，作者将与本教材同步发行并不断更新配套使用的PowerPoint 文档。由于笔者水平所限，书中难免会有不当之处，欢迎指正。

后，本书起草于2000 年，但完成于2022 年举国抗击新型冠状病毒的时期，谨以此献给那些为抗击疫情做出卓越贡献的人们，特别是医务工作者们。

牛志升  周盛

2022年9月于清华园